电磁直立小车（磁性直线电机模组）

1 直立行走任务分解

电磁组比赛要求汽车模型在直立状态下两轮着地沿赛道比赛。与四轮状态相比，汽车模型的控制任务更加复杂。为了更容易找到问题的解决方案，首先将复杂的问题分解为简单的问题进行讨论。

为了分析方便，根据比赛规则，假设保持车模直立和行驶的动力来自于车模的两个后轮，后轮的旋转由两个直流电机驱动。因此，从控制角度来说，通过控制车模的两个电机的旋转方向和速度来控制车模。车辆模型运动控制任务可以分解为以下三个基本任务，如图2-1所示：

图2-1 汽车模型控制任务分解

（1）控制车模直立：通过控制两个电机的正反转使车模保持直立；

(2)控制车模的速度：通过调整车模的倾斜角度来控制车模的速度。

(3)控制车模转向：通过控制两个电机之间的旋转差来控制车模转向。

直接通过控制该车型的两个后轮驱动电机来完成该车型的直立和方向控制任务。可以假设，车模的电机可以虚拟地拆解为两个不同功能的驱动电机，同轴连接，分别控制车模的直立平衡和左右方向。实际控制时，将控制车模直立和方向的控制信号叠加加载到电机上。只要电机处于线性状态，就可以同时完成上述两项任务。

车模的速度由车模的倾斜角度控制。车模的不同倾斜角度会引起车模的前进和后退速度变化，从而实现速度控制。

图2-2 车型倾斜引起的车速变化

在这三项任务中保持模型直立是关键。由于汽车模型同时受到三个控件的影响，因此从汽车模型的直立控制角度来看，另外两个控件成为其干扰。因此，在控制速度和方向时，应尽可能平滑，减少对直立控制的干扰。三者之间的配合如图2-3所示。

图2-3 三层控制配合

上述三个控制各自独立控制，并且各自假设其他两个控制已达到稳定。例如，在速度控制时，汽车模型需要能够保持直立控制。通过调整汽车模型倾斜度的偏移量，改变汽车模型的实际物理倾斜度。向前和向后倾斜汽车模型将改变汽车模型的速度。为了避免影响车模的直立控制，在控制速度时必须非常缓慢地改变车模的倾斜角度。这将在后面的速度控制中详细讨论。

下面分别讨论以上三种控件的实现方法。

2 车模直立控制

控制车模直立位置的直观体验来自于杂技表演。一般人通过简单的练习就可以将直木棍保持在指尖上。这需要两个条件：一是握木棍的手掌可以移动；二是握木棍的手掌能移动。二是眼睛可以观察木棍的倾斜角度和倾斜趋势（角加速度）。使用手掌动作抵消棍子的角度和趋势，使其保持直立。这两个条件缺一不可，实际上就是控制中的负反馈机制，见图2-4。

图2-4 保持摇杆直立的反馈控制

世界上没有一个天才的杂技演员可以在蒙着眼睛的情况下让一根棍子在手指上直立起来，因为没有负反馈。

车模的直立位置也是通过负反馈来实现的。但相对于上面的那根棍子，将棍子直立起来相对简单。由于汽车模型有两个着地的轮子，因此车身只会向轮子滚动的方向倾斜。控制车轮的旋转以抵消倾斜的趋势并保持车辆直立。如图2-5所示。

图2-5 通过车轮移动保持模型直立

那么车轮如何运转才能最终保持车身的垂直稳定性呢？为了回答这个问题，一般的方法是建立汽车模型的运动学和动力学数学模型，并通过设计最优控制来保证汽车模型的稳定性。为了使学生更清楚地理解物理过程。下面通过对比摆模型来说明维持汽车模型稳定性的控制规则。

使用细线在重力场中悬挂重物可以简化形成理想化的摆模型。直立汽车模型可以看作是放置在可以左右移动的平台上的倒立摆。如图2-6所示。

图2-6 汽车模型简化为倒立摆

普通摆的受力分析如图2-7所示。

图2-7 普通摆受力分析

当物体离开垂直平衡位置时，它将受到重力和悬挂线的合力作用，推动重物回到平衡位置。这个力称为恢复力，其大小为：

F= m g sin m g F=- mg \cdot \sin \theta \approx - mg\theta

在这个恢复力的作用下，摆锤作周期性运动。在空气中运动的单摆最终会由于空气的阻尼力而停在垂直平衡位置。空气的阻尼力与摆的速度成正比，方向相反。阻尼力越大，摆锤就越快稳定在垂直位置。图2-8所示为不同阻尼系数下单摆的运动曲线。

图2-8 不同阻尼力下的简单摆运动

总而言之，摆在垂直位置上保持稳定需要两个条件：

(1)受到与位移(角度)相反的恢复力；

(2)受到与运动速度相反的阻尼力。

如果没有阻尼力，摆锤就会在垂直位置从一侧摆动到另一侧。阻尼力将使摆锤最终停止在垂直位置。如果阻尼力太小（阻尼不足），摆锤就会振荡。如果阻尼力太大（过阻尼），摆锤需要更长的时间才能到达平衡位置。存在一个临界阻尼系数，能使摆锤最快稳定在平衡位置。

为什么倒立摆处于垂直位置时，受到外界干扰时不能保持稳定？分析倒立摆受力，如图2-9所示。

图2-9 汽车模型在车轮参考系中的受力分析

倒立摆之所以不能像单摆一样稳定在垂直位置，是因为当它偏离平衡位置时，它受到的恢复力是与位移同向的，而不是相反的！结果，倒立摆加速远离其垂直位置，直到倒下。

如何通过控制让倒立摆像简单的钟摆一样稳定在垂直位置呢？要达到这个目的，只有两个办法：一是改变重力方向；二是改变重力方向。另一种是增加额外的力，使回复力与位移方向相反。由此可见，唯一能做的就是第二种方式。

控制倒立摆的底轮使其加速。如果站在小车（非惯性系）上看倒立摆，它会受到一个附加力（惯性力），该力与轮子的加速度相反，大小成正比。这样，倒立摆的恢复力为

式中，假设控制轮加速度与偏转角 \theta 成正比，比率为k 1 k_1k1。显然，如果k 1 g k_1 gk1g，（g gg 是重力加速度），那么恢复力的方向与位移方向相反。

另外，为了尽快将倒立摆稳定在垂直位置，需要增大阻尼力，阻尼力与偏转角度的速度成正比且方向相反。因此，式(2-1)可变为

根据上述控制方法，可以将倒立摆模型转变为简单摆模型，可以稳定在垂直位置。因此，可以得到控制车轮加速度的控制算法

编辑：hfy