关于周期信号的分数次谐波的问题解析（关于周期信号的分数次谐波的问题解析及答案）

讨论了电机PWM谐波对电磁传感器的干扰问题。由于PWM 的高次谐波将落在20kHz 传感器的通带内，因此有必要避免PWM 频率为20kHz 的整数分数。

看到同学留言，提到了周期信号的分数谐波问题。

从该消息看来，对于周期性方波信号，会产生与占空比成正比的分数谐波。这种观点在信号分析中应该是不正确的。

一般情况下，习惯于理论教学的教师可以直接写出相应的公式进行分析解释，或者将公式画成曲线来说明信号频谱的分布。考虑到很多同学还没有了解信号和系统，为了增加大家对这个问题的兴趣，我们直接用昨天的实验环境来测试一下不同的PWM占空比引起的干扰频点的变化。

图1 测量实验环境

昨天的实验结果表明，在20kHz整数分数频率（1/2、1/3、1/4、1/5、1/6.）下，PWM电机信号会干扰传感器噪声。这是因为当PWM 波形具有10% 占空比时，这些频率整数倍的一些谐波恰好落在20kHz 通带范围内。

接下来，将占空比设置为20%、25%、33%和50%，重新测量PWM频率与干扰信号强度之间的关系。可以保证的是，下面的所有曲线都是根据自动采集的实际信号绘制的，而不是通过公式计算出来的，因此它们反映了真实物理世界中信号的可测量的光谱分布。

通过观察，可以发现不同占空比下的PWM信号不会产生新的干扰频点。相反，一些原来的干扰频点消失了。我们看看能否通过测量总结出具体的规律？

图2 占空比为20%时，PWM信号对传感器的干扰频点

图3 占空比为25%时，PWM信号对传感器的干扰频点

图4 占空比为33%时PWM信号对传感器的干扰频点

图5 占空比为50%时PWM信号对传感器的干扰频点

从上述实测数据可以看出，改变PWM波形的占空比并不会带来新的干扰频点。相反，在不同的占空比下，原来存在的频点就会消失。例如，如果使用1/n的占空比，则1/n、1/(2n)、1/(3n)等处的所有干扰频点都会消失。特别是当占空比为50%（1/2）时，所有1/2n干扰频点不再存在。

为什么会出现这种情况。这里省略3000字的理论推导，直接解释谱分析公式即可。对于周期为T、高电平tao的方波脉冲信号，各谐波的幅值由下图公式给出。

图6 方波脉冲信号频谱分解公式及其幅度谱

可以看出，各谐波的幅值由sinc函数决定。当T是tao的整数倍时，位于这些倍数处的谐波幅度恰好为0。特别地，当tao等于T的一半时，对于所有n等于偶数，对应的谐波幅度为0。

根据上述结论，反之，当PWM 的占空比为整数的n 分之一时，对应1/n、1/2n、1/3n 等处20kHz 的PWM 信号，对应于20kHz。谐波恰好为零，因此这些频率处的干扰点消失了。

离开图6中的频谱分解公式，我们还可以利用信号对称性的关系来证明占空比为50%的方波信号中不存在偶次谐波成分。

信号被分解为分量的叠加，并且分量之间保持信号的一定对称性。例如，如果信号是偶对称（或奇对称），则其所有分量也必须是偶函数（或奇函数）。对称性有很多种，其中一种称为“奇调和对称性”。意思是信号经过半个周期的平移后，与原来的信号完全相反。

图7 奇次谐波对称信号

对于正弦信号的分析，可以看出，上述奇次谐波对称关系在正弦波1、3、5…等奇数周期上也存在。对于余弦波形也是如此。

图8 奇次正弦波的奇谐波对称性

由此，我们可以得出以下结论：对于具有奇次谐波对称性的周期信号，其所有奇次谐波也满足奇次谐波对称性，因此它们存在。相反，偶次谐波不满足上述奇次谐波对称关系，因此不存在。这也是“奇次谐波”周期信号名称的由来。

对于占空比为50%的普通方波信号来说，其交流分量也是奇次谐波信号。另外，你能说出那些常见的信号“奇次谐波信号”吗？

对于周期信号，它的谐波只能是基频的整数倍吗？

从数学上来说这是正确的。无论这个周期信号是什么样子，它的每个分量都只能是基频整数倍的离散频谱，永远不会产生基频的分数谐波。

在现实世界中，严格周期性的信号并不存在，特别是对于仅存在一段时间的振荡信号。事实上，它们不再是严格意义上的周期信号。例如，如果截获一个周期信号一段时间，它的频谱就会产生许多新的分量。事实上，此时信号的频谱将形成连续的频谱密度函数。再往下，傅里叶变换的数学分析工具将由傅里叶级数分解衍生而来。

除了生成新的频率用于信号拦截之外，如果周期性信号通过非线性系统，

通常还会生成新的频率，甚至是分数频率。钢琴乐器中存在着大量的谐振单元，它们之间存在着相互耦合和一定的非线性效应。因此，钢琴发出的单一音乐声音不仅含有丰富的谐波成分，还含有一些非整数谐波（分数谐波），这使得钢琴的声音非常丰富多彩。

类似地，如果一个周期信号通过一个时变系统，也会产生一个新的频率信号。正常情况下，激光干涉引力波天文台（LIGO）中的激光干涉信号除了自身的激光稳定频率外，不会有新的频率信号。但当引力波席卷地球时，整个空间的所有参数都会随着时间发生相应的变化。此时，激光的频率也会发生漂移，导致系统输出变化的干涉信号，表明当前的时空是由于引力波引起的变化。

图10 时变时空也会引起新的频率分量的产生

编辑：hfy